6.如圖,已知半圓O的半徑為1,點(diǎn)C在直徑AB的延長線上,且BC=1,P是半圓上動(dòng)點(diǎn),以PC為一邊作等腰直角三角形PCK(K為直角頂點(diǎn),且K和O在PC的兩側(cè)).
(1)求四邊形OPKC面積的最大值;
(2)設(shè)t=$\frac{△POC的面積}{△PCK的面積}$,求t的最大值.

分析 (1)可以設(shè)∠POB=θ,四邊形面積為y,然后,建立關(guān)系式,構(gòu)造面積關(guān)系式,最后利用三角函數(shù)知識(shí)求解最值;
(2)由t=$\frac{△POC的面積}{△PCK的面積}$=$\frac{4sinθ}{5-4cosθ}$,由半角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系,求得t═$\frac{8tan\frac{θ}{2}}{9ta{n}^{2}\frac{θ}{2}+1}$=$\frac{8}{9tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}$≤$\frac{8}{2×\sqrt{9tan\frac{θ}{2}•\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}}$=$\frac{4}{3}$,即可求得t的最大值.

解答 解:(1)設(shè)∠POC=θ,0<θ<π,
則在△POC中,由余弦定理得:PC2=OP2+OC2-2OP•OCcosθ=5-4cosθ.
∴PC2=5-4cos θ,…(4分)
SOPKC=S△OPC+S△PCD=$\frac{1}{2}$×1×2sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$(5-4cosθ)
=2sin(θ-$\frac{π}{3}$)+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$,
當(dāng)θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,即θ=$\frac{5π}{6}$時(shí),四邊形OPKC面積的最大值;,
最大值為:2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$;
(2)t=$\frac{△POC的面積}{△PCK的面積}$,
=$\frac{4sinθ}{5-4cosθ}$,
=$\frac{8sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{5(si{n}^{2}\frac{θ}{2}+co{s}^{2}\frac{θ}{2})-4(co{s}^{2}\frac{θ}{2}-si{n}^{2}\frac{θ}{2})}$,
=$\frac{8sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{9si{n}^{2}\frac{θ}{2}+co{s}^{2}\frac{θ}{2}}$,
=$\frac{8tan\frac{θ}{2}}{9ta{n}^{2}\frac{θ}{2}+1}$,
=$\frac{8}{9tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}$≤$\frac{8}{2×\sqrt{9tan\frac{θ}{2}•\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}}$=$\frac{4}{3}$,
當(dāng)且僅當(dāng)tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{3}$時(shí),取“=”,
t的最大值為:$\frac{4}{3}$,

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的輔助角公式、三角恒等變換等知識(shí),基本不等式的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;
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④m⊥α,α⊥β,m∥n,則n∥β.
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