分析 (1)任取a,b∈[-1,1],且a<b,則b-a>0,結(jié)合(x+y)[f(x)+f(y)]>0,判斷出f(b)>-f(-a),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義,可得結(jié)論;
(2)若f(x+$\frac{1}{2}$)<f(1-2x),則-1≤x+$\frac{1}{2}$<1-2x≤1,解得原不等式的解集;
(3)f(x)max=f(1)=1,故m2-2m-2≥1,解得實(shí)數(shù)m的范圍.
解答 解:(1)f(x)是定義在[-1,1]上的增函數(shù),理由如下:
任取a,b∈[-1,1],且a<b,則b-a>0,
∵(x+y)[f(x)+f(y)]>0,
∴(b-a)[f(b)+f(-a)]>0,
即f(b)+f(-a)>0,
即f(b)>-f(-a),
∵函數(shù)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),
∴f(b)>f(a),
∴f(x)是定義在[-1,1]上的增函數(shù),
(2)∵f(x+$\frac{1}{2}$)<f(1-2x),
-1≤x+$\frac{1}{2}$<1-2x≤1
解得:x∈[0,$\frac{1}{6}$)
(3)∵f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,
所以f(x)max=f(1)=1,
即:對(duì)任意的x在[-1,1]上有m2-2m-2≥1成立,
解得:m≥3或m≤-1
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題,難度中檔.
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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