Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosφ，2sinφ），φ∈（90°，180°），$\overrightarrow$=（1，1），則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． φ
• B． 45°+φ
• C． 135°-φ
• D． φ-45°

Answer 1

分析 由條件計算出|$\overrightarrow{a}$|和|$\overrightarrow$|的值，設向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，再求得cosθ 的值，結合θ和φ的范圍，利用誘導公式求得θ的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosφ，2sinφ），φ∈（90°，180°），$\overrightarrow$=（1，1），
∴|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，
設向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{2cosφ+2sinφ}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}cos（φ-45°）}{2\sqrt{2}}$=cos（φ-45°），
再根據(jù)φ-45°∈（45°，135°），可得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ=φ-45°，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角，其中利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$ 計算兩個向量的夾角是解答本題的關鍵，屬于中檔題．