Question

9．已知函數(shù)f（x）=（2log₄x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$），
（1）當x∈[2，4]時，求該函數(shù)的值域；
（2）求f（x）在區(qū)間[2，t]（t＞2）上的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （1）令m=log₄x，則可將函數(shù)在x∈[2，4]時的值域問題轉化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域問題；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質和對稱軸，分類討論即可求出最小值．

解答 解：（1）令m=log₄x，x∈[2，4]時，則m∈[$\frac{1}{2}$，1]，
則f（t）=（2m-2）（m-$\frac{1}{2}$）=2m²-3m+1=2（m-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
當m=$\frac{3}{4}$時，有最小值為-$\frac{1}{8}$，
當m=$\frac{1}{2}$或1時，有最大值為0，
∴該函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{8}$，0]，
（2）由（1）可知f（m）=2m²-3m+1=2（m-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∵x∈[2，t]，
∴m∈[$\frac{1}{2}$，log₄t]，
當$\frac{1}{2}$≤m＜$\frac{3}{4}$時，即2≤t＜2$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（t）在[$\frac{1}{2}$，log₄t]，單調遞減，
g（t）=f（t）_min=f（log₄t）=2log₄²t-3log₄t+1
當m≥$\frac{3}{4}$時，即t≥2$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（t）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]上單調遞減，
在（$\frac{3}{4}$，log₄t]單調遞增，g（t）=f（t）_min=f（$\frac{3}{4}$）=-$\frac{1}{8}$，
綜上所述：g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2lo{g}_{4}^{2}t-3lo{g}_{4}t+1，2≤t＜2\sqrt{2}}\\{-\frac{1}{8}，t≥2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的性質，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質的簡單綜合應用，難度中檔