Question

【題目】已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對任意均有 求的取值范圍.

注：為自然對數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

(2)由題意首先由函數(shù)在特殊點的函數(shù)值得到a的取值范圍，然后證明所得的范圍滿足題意即可.

(1)當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，且：

，

因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(2)構(gòu)造函數(shù)，

注意到：，

注意到時恒成立，滿足；

當(dāng)時，，不合題意，

且，解得：，故.

下面證明剛好是滿足題意的實數(shù)a的取值范圍.

分類討論：

(a)當(dāng)時，，

令，則：

，

易知，則函數(shù)單調(diào)遞減，，滿足題意.

(b)當(dāng)時，等價于，

左側(cè)是關(guān)于a的開口向下的二次函數(shù),

其判別式，

令，注意到當(dāng)時,，

于是在上單調(diào)遞增,而，

于是當(dāng)時命題成立,

而當(dāng)時,此時的對稱軸為隨著遞增,

于是對稱軸在的右側(cè),而成立，(不等式等價于).

因此.

綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是.