Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax，a∈R，若f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先將問題等價(jià)為：f'（x）≥0在x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$）上恒成立，再通過分離參數(shù)發(fā)求a的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，問題等價(jià)為：
f'（x）≥0在x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$）上恒成立，
即x²+2x+a≥0恒成立，
分離參數(shù)a得，a≥-x²-2x=-（x+1）²+1，
所以，a≥[-（x+1）²+1]_max=$\frac{3}{4}$，
僅當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，上式取得最大值，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[$\frac{3}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及不等式恒成立問題的解法，屬于基礎(chǔ)題．