Question

20．在數(shù)列{a_n}中，若a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，則$\sum_{k=1}^{2014}$a_k=$\frac{2015}{2}$．

Answer 1

分析 通過(guò)計(jì)算出前幾項(xiàng)的值找出周期，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=1-2=-1，
a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=1+1=2，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
且a₁+a₂+a₃=2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
又∵2014=3×671+1，
∴$\sum_{k=1}^{2014}$a_k=$\frac{3}{2}$×671+2=$\frac{2015}{2}$，
故答案為：$\frac{2015}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，找出周期是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．