Question

19．已知甲、乙、丙等6人．
（1）這6人同時(shí)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？
（2）這6人同時(shí)參加6項(xiàng)不同的活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)限1人參加，求甲不參加第一項(xiàng)活動(dòng)且乙不參加第三項(xiàng)活動(dòng)的概率．
（3）這6人同時(shí)參加4項(xiàng)不同的活動(dòng)，求每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加的概率．

Answer 1

分析 （1）分別求出這6個(gè)人只去1個(gè)人、只去2個(gè)人、只去3個(gè)人、只去4個(gè)人、只去5個(gè)人，6的人全去的方法數(shù)，相加，即得所求．
（2）所有的安排方法共有$A_6^6$種，其中甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)的方法有$A_5^5$種，乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有$A_5^5$種，甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)而且乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有$A_4^4$種，利用間接法得到所求．
（3）求得每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加的方法有$（C_6^3+\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2）A_4^4=65×24=1560$種，再求得所有的安排方法共有 4⁶ 種，由此求得每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加的概率．

解答 解：（1）分別求出這6個(gè)人只去1個(gè)人、只去2個(gè)人、只去3個(gè)人、只去4個(gè)人、只去5個(gè)人，6的人全去的方法數(shù)，分別為$C_6^1，C_6^2，C_6^3，C_6^4，C_6^5，C_6^6$，
故共有2⁶-1=63種方法．…4
（2）所有的安排方法共有$A_6^6$種，其中甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)的方法有$A_5^5$種，
乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有$A_5^5$種，
甲參加第一項(xiàng)活動(dòng)而且乙參加第三項(xiàng)活動(dòng)的方法有$A_4^4$種，
故甲不參加第一項(xiàng)活動(dòng)且乙不參加第三項(xiàng)活動(dòng)的不同的安排方法有$A_6^6-2A_5^5+A_4^4=504$種．…8
又因?yàn)樗�有的安排方法�?A_6^6$=720種，所以甲不參加第一項(xiàng)活動(dòng)且乙不參加第三項(xiàng)活動(dòng)的概率為$\frac{7}{10}$…9
（3）這6人同時(shí)參加4項(xiàng)不同的活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加，
若各項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為3、1、1、1時(shí)，有$C_6^3•A_4^4$種方法，
若各項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為2、2、1、1，則有$\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2•A_4^4$種方法，
故滿足條件的方法數(shù)為$（C_6^3+\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2）A_4^4=65×24=1560$種．…13
而所有的安排方法共有4⁶種，故每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加的概率為$\frac{65×24}{4^6}=\frac{195}{512}$…14

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．當(dāng)直接解的情況比較復(fù)雜時(shí)，可以考慮用間接解法，是一個(gè)中檔題目．