Question

19．圓C₁的方程是${（x-3）^2}+{y^2}=\frac{4}{25}$，圓C₂的方程是$（x-3-cosθ{）^2}+（y-sinθ{）^2}=\frac{1}{25}（θ∈R）$，過C₂上任意一點(diǎn)P作圓C₁的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M、N，則∠MPN的最大正切值是$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 ∠MPN最大時(shí)，|PC₁|最大，最大為|C₁C₂|+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，利用正切公式，即可求出∠MPN的最大正切值．

解答 解：${（x-3）^2}+{y^2}=\frac{4}{25}$的圓心C₁（3，0），半徑等于$\frac{2}{5}$，圓C₂的方程是$（x-3-cosθ{）^2}+（y-sinθ{）^2}=\frac{1}{25}（θ∈R）$，圓心C₂（3+cosθ，sinθ），半徑等于$\frac{1}{5}$．
∠MPN最大時(shí)，|PC₁|最大，最大為|C₁C₂|+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴PM=$\sqrt{\frac{36}{25}-\frac{4}{25}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
∴tan∠MPC₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠MPN=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查∠MPN的最大正切值，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．