Question

4．在如圖所示的幾何體中，△ABC是正三角形，且EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，M是AB的中點．
（Ⅰ）求證：CM⊥EM；
（Ⅱ）若AB=2$\sqrt{2}$，AE=1，BD=2，求DE與平面EMC所成角的正切值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點M到平面CDE的距離．

Answer 1

分析 （I）由等邊三角形的性質(zhì)可得：CM⊥AB．由EA⊥平面ABC，可得EA⊥CM．CM⊥平面EAB，即可證明結(jié)論．
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面CEM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=0}\end{array}\right.$，設(shè)DE與平面EMC所成角為θ，利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{ED}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{ED}|}$，進(jìn)而得出tanθ．
（III）設(shè)平面CDE的方向為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，利用點M到平面CDE的距離d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}|}{|\overrightarrow{m}|}$即可得出．

解答 證明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AB的中點．
∴CM⊥AB．
∵EA⊥平面ABC，CM?平面ABC，
∴EA⊥CM．
又EA∩AB=A，
∴CM⊥平面EAB，
∴CM⊥EM．
解：（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
A（0，0，0），E（0，0，1），M（$\sqrt{2}$，0，0），C（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$，0），D（2$\sqrt{2}$，0，2），
$\overrightarrow{EM}$=（$\sqrt{2}$，0，-1），$\overrightarrow{MC}$=（0，$\sqrt{6}$，0），$\overrightarrow{ED}$=（2$\sqrt{2}$，0，1）．
設(shè)平面CEM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-z=0}\\{\sqrt{6}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（1，0，\sqrt{2}）$．
設(shè)DE與平面EMC所成角為θ，則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{ED}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{ED}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{9}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴tanθ=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$．
（III）$\overrightarrow{EC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$，-1），
設(shè)平面CDE的方向為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}{x}_{1}+\sqrt{6}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{2\sqrt{2}{x}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（1，-\sqrt{3}，-2\sqrt{2}）$．
∴點M到平面CDE的距離d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計算、線面垂直平行判定與性質(zhì)定理、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．