Question

17．已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內(nèi)有且只有一個根$x=\frac{1}{2}$，則f（x）=0在區(qū)間[0，2015]內(nèi)根的個數(shù)為（　�。�

• A． 2013
• B． 1007
• C． 2015
• D． 1009

Answer 1

分析 由條件推出f（1-x）=f（1+x），進而推出f（x）為偶函數(shù)，且f（x）是周期等于2的周期函數(shù)，根據(jù)f（ $\frac{1}{2}$）=0，求出f（ $\frac{3}{2}$）=0，從而得到函數(shù)f（x）在一個周期的零點個數(shù)，且函數(shù)f（x）在每兩個整數(shù)之間都有一個零點，從而得到f（x）=0在區(qū)間[0，2015]內(nèi)根的個數(shù)．

解答 解：∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），
故函數(shù)f（x）是周期等于2的周期函數(shù)，
∵f（$\frac{1}{2}$）=0，∴f（-$\frac{1}{2}$）=0，再由周期性得f（-$\frac{1}{2}$+2）=f（$\frac{3}{2}$）=0，
故函數(shù)f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，
即函數(shù)f（x）在每兩個整數(shù)之間都有一個零點，
∴f（x）=0在區(qū)間[0，2015]內(nèi)根的個數(shù)為2015，
故選：C．

點評 本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，抽象函數(shù)的應用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．