Question

6．已知拋物線y²=2px（p＞0），傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線AB過拋物線的焦點F且與拋物線交于A，B兩點（|AF|＞|BF|）．過A點作拋物線的切線與拋物線的準(zhǔn)線交于C點，直線CF交拋物線于D，E兩點（|DF|＜|FE|）．直線AD，BE相交于G，則G點的橫坐標(biāo)為（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{2}p}}{4}$
• B． $-\frac{p}{2}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}p}}{2}$
• D． -p

Answer 1

分析 令p=2，聯(lián)立方程組求出A，B，C，D，E的坐標(biāo)，得出直線AD，BE的方程，求出G點坐標(biāo)即可．

解答 解：不妨設(shè)p=2，拋物線方程為y²=4x，F(xiàn)（1，0），直線AB的方程為y=x-1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$解得A（3+2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），B（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
∵直線AC是拋物線的切線，切點為A，
∴直線AC的方程為y-2-2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$-1）（x-3-2$\sqrt{2}$），即y=（$\sqrt{2}$-1）x+$\sqrt{2}$+1，
又C在拋物線的準(zhǔn)線x=-1上，∴C（-1，2），
∴直線CF的方程為y=-x+1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得D（3-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2），E（3+2$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$），
∴A，E關(guān)于x軸對稱，B，D關(guān)于x軸對稱，
∴直線AD與直線BE關(guān)于x軸對稱，
∴G為直線AD與x軸的交點，
∵k_AD=$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線AD的方程為y-2-2$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-3-2$\sqrt{2}$），即y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線AD與x軸的交點為G（-1，0），即G點橫坐標(biāo)為-1．
∴G點橫坐標(biāo)為-$\frac{p}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．