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(2010•崇文區(qū)二模)在平面直角坐標系xOy中,平面區(qū)域W中的點的坐標(x,y)滿足x2+y2≤5,從區(qū)域W中隨機取點M(x,y).
(Ⅰ)若x∈Z,y∈Z,求點M位于第四象限的概率;
(Ⅱ)已知直線l:y=-x+b(b>0)與圓O:x2+y2=5相交所截得的弦長為
15
,求y≥-x+b的概率.
分析:(I)先一一列舉出平面區(qū)域W中的整點的個數,再看看在第四象限的有多少個點,最后利用概率公式計算即得;
(II)因滿足:“y≥-x+b”的平面區(qū)域是一個弓形區(qū)域,欲求y≥-x+b的概率,只須求出弓形區(qū)域的面積與圓的面積之比即可.
解答:解:(Ⅰ)若x∈Z,y∈Z,則點M的個數共有21個,
列舉如下:(-2,-1),(-2,0),(-2,1);(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2);(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2);(1,-2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2);(2,-1),(2,0),(2,1).
當點M的坐標為(1,-1),(1,-2),(2,-1)時,點M位于第四象限.
故點M位于第四象限的概率為
1
7
.(6分)

(Ⅱ)由已知可知區(qū)域W的面積是5π.
因為直線l:y=-x+b與圓O:x2+y2=5的弦長為
15
,
如圖,可求得扇形的圓心角為
2
3
π
,
所以扇形的面積為S=
1
2
×
2
3
π×
5
×
5
=
5
3
π

則滿足y≥-x+b的點M構成的區(qū)域的面積為S=
5
3
π-
1
2
×
5
×
5
×sin
2
3
π=
20π-15
3
12
,
所以y≥-x+b的概率為
20π-15
3
12
=
4π-3
3
12π
.(13分)
點評:本題主要考查了古典概型和幾何概型,如果一個事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現m種結果,那么事件A的概率P(A)=
m
n
.如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.
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(
2
3
,1)
(
2
3
,1)

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