Question

已知函數(shù)有f（x）=sinxcosx+

3

2

（cos²x-sin²x）．
（1）求f（

π

6

）及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]的最值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦化簡，然后直接取x=

π

6

求值，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出化簡后函數(shù)相位的范圍，進(jìn)一步求得f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]的最值．

解答： 解：f（x）=sinxcosx+

3

2

（cos²x-sin²x）
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=sin（2x+

π

3

）．
（1）f(

π

6

)=sin(2×

π

6

+

π

3

)=sin

2π

3

=

3

2

．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得：-

5π

12

+kπ≤

π

12

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
則sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]．
∴f（x）的最小值為-

1

2

，最大值為1．

點評：本題考查了兩角和與差的正弦，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)的最值，是中檔題．