Question

已知f（x）=x³-

1

2

x²-1，x∈R，
（1）求函數f（x）在點（1，

1

2

）處的切線方程；
（2）求函數f（x）在（1，2）上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出原函數的導函數，得到函數在x=1時的導數，直接由直線方程的點斜式得答案；
（2）利用導數得到函數在（1，2）上的單調性，再由單調函數在開區(qū)間上無最值說明函數f（x）在（1，2）上無最大值．

解答： 解：∵f（x）=x³-

1

2

x²-1，
∴f′（x）=3x²-x．
（1）f′（1）=3×1²-1=2．
即函數f（x）在點（1，

1

2

）處的切線的斜率為2，
∴函數f（x）在點（1，

1

2

）處的切線方程為y-

1

2

=2（x-1），
整理得：4x-2y-3=0；
（2）由f′（x）=3x²-x，得x1=0，x2=

1

3

，
∴當x＞

1

3

時f′（x）＞0，即函數在(

1

3

，+∞)上為增函數．
∴f（x）在（1，2）上是增函數，無最大值．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點的切線方程，過曲線上某點的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，考查了利用導數研究函數的單調性，是中檔題．