Question

8．設變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ 4x-y-4≤0\\ x+y≥3\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=x+ky（其中k＞0）的最小值為13，則實數(shù)k=$\frac{29}{4}$．

Answer 1

分析 畫出滿足條件的平面區(qū)域，目標函數(shù)z=x+ky（其中k＞0）的幾何意義：z表示直線在y軸上截距的k倍．分別求得交點坐標，由圖象可得經(jīng)過B，C兩點取得最小值，注意檢驗即可．

解答 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=4x-4}\end{array}\right.$可得A（2，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=3-x}\end{array}\right.$可得B（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3-x}\\{y=4x-4}\end{array}\right.$可得C（$\frac{7}{5}$，$\frac{8}{5}$），
由目標函數(shù)z=x+ky（其中k＞0）的幾何意義：
z表示直線在y軸上截距的k倍．
可能為直線z=x+ky經(jīng)過B，C兩點取得最小值13．
即有$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$k=13或$\frac{7}{5}$+$\frac{8}{5}$k=13，
解得k=5或k=$\frac{29}{4}$，
若k=5，則$\frac{7}{5}$+$\frac{8}{5}$k=$\frac{47}{5}$＜13，不成立舍去；
若k=$\frac{29}{4}$，則$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$k=$\frac{149}{8}$＞13，成立．
故答案為：$\frac{29}{4}$．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，注意目標函數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結合思想，是一道中檔題．