Question

某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？
（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=）

Answer 1

解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，
則(x≥10，x∈Z₊)，
令，
下面證明g(x)在[10，+∞]的單調(diào)性，
在定義域內(nèi)任取x₁＜x₂，則有


，
而存在①和②兩種可能，
∴在同一區(qū)間，x₁，x₂的值可以非常接近，且都靠近15時(shí)，x₁，x₂的值就非常靠近225了，
反之，如果x₁，x₂的值分布在15的兩側(cè)，則x₁x₂的值就會(huì)出現(xiàn)不確定的結(jié)果，即有些大于15，有些小于15，可以而且必須在15劃分單調(diào)區(qū)間；
故當(dāng)x₁＜x₂=15 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)15＜x₁＜x₂時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，
故g(x)在[10，15]上遞減，在[15，+∞]上遞增，
所以函數(shù)在[10，+∞]的最小值是在x=15處取得，即f(15)=2000，
答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。