Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，f（-4t）≤f（2at²+a）（a∈R）恒成立，則a²的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得f（-4t）≤f（2at²+a）⇒f（|4t|）≤f（|2at²+a|）⇒|4t|≤|2at²+a|，即|a|≥$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$；則有|a|≥$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$恒成立；令k（t）=$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$，由基本不等式的性質(zhì)分析可得k（t）的最大值，結(jié)合題意分析可得|a|的最小值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（-4t）≤f（2at²+a）⇒f（|4t|）≤f（|2at²+a|），
又由函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則f（-4t）≤f（2at²+a）⇒f（|4t|）≤f（|2at²+a|）⇒|4t|≤|2at²+a|，即|a|≥$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$；
若對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，f（-4t）≤f（2at²+a），則|a|≥$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$恒成立；
令k（t）=$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$，則k（t）=$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$=$\frac{4}{|2t+\frac{1}{t}|}$=$\frac{4}{|2t|+\frac{1}{|t|}}$≤$\sqrt{2}$；（|t|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)成立）
若|a|≥k（t）=$\frac{4|t|}{|2{t}^{2}+1|}$恒成立，則必有|a|≥$\sqrt{2}$成立，
則a²的最小值是2；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是將f（-4t）≤f（2at²+a）轉(zhuǎn)化為a、t的關(guān)系．