Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）滿足：對稱軸為x=-1，且x∈R時x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9恒成立．
（1）求f（-2）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）已知函數(shù)f（x）-kx的圖象與x軸交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，問是否存在實數(shù)k滿足

AB

=2

OA

？如果存在，求出k的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件：x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9，便可得到7≤f（-2）≤7，所以便得到f（-2）=7；
（2）根據(jù)f（x）的對稱軸是x=-1，能夠得到f（x-2）=f（-x），從而得到f（0）=f（-2）=7，所以f（x）可設(shè)成f（x）=ax（x+2）+7．所以根據(jù)x∈R時，x²+x+5≤f（x）可得到（a-1）x²+（2a-1）x+2≥0，所以a需滿足

a＞1 (2a-1)2-8(a-1)≤0

，解該不等式可得a=

3

2

，這樣便可得f（x）的解析式；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-kx=

3

2

x2+(3-k)x+7，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），由

AB

=2

OA

可以得到x₂=3x₁，而x₁，x₂是方程g（x）=0的兩實數(shù)根，根據(jù)韋達定理即可求出k的值，并驗證k是否符合條件即可．

解答： 解：（1）令x=-2，則7≤f（-2）≤7，所以f（-2）=7；
（2）由f（x）的對稱軸為x=-1得，f（x-2）=f（-x），∴f（0）=f（-2）=7；
故可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax（x+2）+7；
對于x∈R，x²+x+5≤ax²+2ax+7，即（a-1）x²+（2a-1）x+2≥0
則（2a-1）²-8（a-1）≤0且a＞1，化簡得（2a-3）²≤0，∴a=

3

2

；
∴函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=

3

2

x2+3x+7；                         
（3）設(shè)g（x）=f（x）-kx，g(x)=

3

2

x2+(3-k)x+7；
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）；
由

AB

=2

OA

有x₂=3x₁；
∵x₁，x₂是方程

3

2

x2+(3-k)x+7=0的兩實數(shù)根；
由韋達定理可得，x1+x2=4x1=

2k-6

3

，x1x2=3x12=

14

3

；
∴x1=±

14

3

，

±4 14

3

=

2k-6

3

；
解得k=3±2

14

，經(jīng)檢驗符合．

點評：考查二次函數(shù)的對稱性，并且由f（x）的對稱軸是x=-1能夠得到f（x-2）=f（-x），并且設(shè)出f（x）=ax（x+2）+7是求解本題的關(guān)鍵，以及韋達定理．