Question

6．小明在數(shù)學(xué)課中學(xué)習(xí)了《解三角形》的內(nèi)容后，欲測(cè)量河對(duì)岸的一個(gè)鐵塔高AB（如圖所示），他選擇與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C和D，測(cè)得∠BCD=60°，∠BDC=45°，CD=30米，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ=30°．求：
（1）sin∠DBC；
（2）塔高AB（結(jié)果精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)和角公式計(jì)算；
（2）在△BCD中利用正弦定理計(jì)算BC，再在Rt△ABC中計(jì)算AB．

解答 解：（1）由題意可知∠DBC=180°-60°-45°=75°，
∴sin∠DBC=sin75°=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
（2）在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，
即$\frac{30}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得BC=（30$\sqrt{3}$-30）米．
在Rt△ABC中，∵tanθ=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=30-10$\sqrt{3}$≈12.7米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，解三角形的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．