Question

【題目】已知橢圓： （為參數(shù)），是上的動點，且滿足（為坐標原點），以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點的極坐標為

（1）求線段的中點的軌跡的普通方程；

（2）證明：為定值，并求面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）依據(jù)點DA、的直角坐標，求出線段AD的中點,消去參數(shù)得M的軌跡E的普通方程；（2）橢圓C的極坐標方程為：,；設A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）， ,△AOB面積由均值不等式得到結果.

（1）n 點D的直角坐標為（﹣2，﹣2），由題意設A（3cos，sin），

∴線段AD的中點，∴點M的參數(shù)方程為：，消去參數(shù)：.

M的軌跡E的普通方程：;

（2）橢圓C的普通方程為：，化為極坐標方程為：,

∵OA⊥OB，∴設A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）

即+＝＝（定值）

△AOB面積，因為

故面積的最大值為：.

△AOB面積的最大值為