Question

1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₉=a₈+2a₇，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由a₉=a₈+2a₇，求出公比的值，利用存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，寫出m，n之間的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞0），
∵a₉=a₈+2a₇，
∴a₇q²=a₇q+2a₇，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴a₁q^m+n-2=16a₁，
∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=16，
∴m+n=6，即$\frac{m}{6}$+$\frac{n}{6}$=1，
則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）•（$\frac{m}{6}$+$\frac{n}{6}$）
=$\frac{5}{6}$+$\frac{n}{6m}$+$\frac{4m}{6n}$≥$\frac{5}{6}$+$2\sqrt{\frac{n}{6m}•\frac{4m}{6n}}$=$\frac{3}{2}$
上式等號(hào)成立時(shí)，n²=4m²，即n=2m，而m+n=6，∴m=2，
∴最小值為$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和基本不等式的性質(zhì)，是中檔題．