Question

3．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在$（1，\sqrt{e}]$存在零點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過k的范圍討論，導(dǎo)函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）借助（Ⅰ），利用函數(shù)的單調(diào)性以及最小值的符號，判斷f（x）在$（1，\sqrt{e}]$存在零點(diǎn)的條件，列出不等式求k的取值范圍．

解答 解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞）…1分
${f^'}（x）=x-\frac{k}{x}=\frac{{{x^2}-k}}{x}$．…2分
（1）k≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增…3分
（2）k＞0時，由f′（x）=0解得$x=\sqrt{k}$．f（x）與f′（x）在區(qū)間f（0）＜1上的情況如下：

x	（0，$\sqrt{k}$）	$\sqrt{k}$	（$\sqrt{k}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	$\frac{k（1-lnk）}{2}$	↑

所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\sqrt{k}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\sqrt{k}，+∞）$；…5分
綜上所述，k≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
k＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\sqrt{k}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\sqrt{k}，+∞）$…6分
（Ⅱ）（1）k≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且$f（1）=\frac{1}{2}＞0$，
f（x）在$（1，\sqrt{e}]$沒有零點(diǎn)…7分
（2）k＞0時，由（Ⅰ）知，f（x）在區(qū)間f（0）＜1上的最小值為$f（\sqrt{k}）=\frac{k（1-lnk）}{2}$．
因為f（x）存在零點(diǎn)，所以$\frac{k（1-lnk）}{2}≤0$，從而k≥e．…9分
當(dāng)k=e時，f（x）在區(qū)間$（1，\sqrt{e}）$上單調(diào)遞減，且$f（\sqrt{e}）=0$，f（x）在$（1，\sqrt{e}]$存在零點(diǎn)；…10分
當(dāng)k＞e時，f（x）在區(qū)間$（1，\sqrt{e}）$上單調(diào)遞減，且$f（1）=\frac{1}{2}＞0$，$f（\sqrt{e}）=\frac{e-k}{2}＜0$，
所以f（x）在區(qū)間$（1，\sqrt{e}]$存在零點(diǎn)…12分
綜上所述，k≥e．…13分

點(diǎn)評 本題考查函導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．