Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）（其中0＜ω＜1），若點（-$\frac{π}{6}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心．
（1）試求ω的值，并求出函數(shù)的單調增區(qū)間．
（2）先列表，再作出函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈[-π，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的對稱性可得$-\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，結合范圍0＜ω＜1，解得ω，從而可求f（x）解析式，令2kπ-$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）用五點法即可作出函數(shù)在區(qū)間[-π，π]上的圖象．

解答 解：（1）∵點$（-\frac{π}{6}，0）$是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，
∴$-\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，
∴$ω=-3k+\frac{1}{2}$，
∵0＜ω＜1，
∴當k=0時，可得：$ω=\frac{1}{2}$．
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函數(shù)的增區(qū)間為$（2kπ-\frac{2π}{3}，2kπ+\frac{π}{3}）k∈Z$．
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）$，x∈[-π，π]，
列表如下：

x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{5π}{6}$	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{7π}{6}$
x	-π	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	-1	0	1	2	0	0

作圖如下：

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質的應用，考查用五點法作出函數(shù)y=Asin（ωx+∅）在一個周期上的簡圖，屬于中檔題．