Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且前18項(xiàng)的積a₁•a₂…a₁₈=2²⁷
（1）若a₅+a₁₄=9，求公比q
（2）若公比q=2，求a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出a₅•a₁₄的值，與a₅+a₁₄=9，解方程組求出a₅，a₁₄，然后求解公比q
（2）通過公比q=2，化簡已知條件，轉(zhuǎn)化求解a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₃•a₁₈．即可．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且前18項(xiàng)的積a₁•a₂…a₁₈=2²⁷，
則a₁₈•a₁₇…a₁=2²⁷，兩式相乘可得：（a₁•a₁₈）¹⁸=2⁵⁴，即（a₅•a₁₄）¹⁸=2⁵⁴，
可得a₅•a₁₄=8，又a₅+a₁₄=9，解得a₅=1，a₁₄=8，或a₅=8，a₁₄=1，
當(dāng)a₅=1，a₁₄=8時(shí)，可得8=1•q⁹，解得q=

3	2

．
當(dāng)a₅=8，a₁₄=1時(shí)，可得1=8•q⁹，解得q=

3	1 2

．
（2）前18項(xiàng)的積a₁•a₂…a₁₈=2²⁷，公比q=2，
可得2²⁷=a₁•a₂…a₁₈=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）（a₁•a₄•a₇•a₁₀•a₁₃•a₁₆）（a₂•a₅•a₈•a₁₁•a₁₄•a₁₇）
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）q^-10（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）q^-5
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³q^-15
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³2^-15
∴（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³=2⁴²．
a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈=2¹⁴．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．