已知數(shù)列{an}滿足an+1=
(n+2)
a
2
n
-nan+n+1
a
2
n
+1
(n∈N*),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若a1=1,求a2,a3,a4并推證數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a1∈[
1
2
,
3
2
],求證:|Sn-
n(n+1)
2
|<1(n∈N*).
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由于an+1=
(n+2)
a
2
n
-nan+n+1
a
2
n
+1
(n∈N*),a1=1,可得a2=2,a3=3,a4=4.猜想an=n.用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
(2)由于an+1-(n+1)=
(n+2)
a
2
n
-nan+n+1
a
2
n
+1
-(n+1)=
an
a
2
n
+1
(an-n),|an+1-(n+1)|=|
an
a
2
n
+1
||an-n|
.當(dāng)an≠0時(shí),當(dāng)an=0時(shí),|
an
a
2
n
+1
|
1
2
.可得|an+1-(n+1)|≤
1
2
|an-n|
,而|a1-1|≤
1
2
.|an-n|
1
2
|an-1-(n-1)|
≤…≤(
1
2
)n-1|a1-1|
≤(
1
2
)n
.利用|Sn-
n(n+1)
2
|=|(a1-1)+(a2-2)+…+(an-n)|≤|a1-1|+|a2-2|++…+|an-n|,即可證明.
解答: (1)解:∵an+1=
(n+2)
a
2
n
-nan+n+1
a
2
n
+1
(n∈N*),a1=1,
∴a2=2,a3=3,a4=4.
猜想an=n.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
當(dāng)n=1時(shí),成立;
假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),ak=k.
則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=
(k+2)k2-k2+k+1
k2+1
=k+1.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),也成立.
∴an=n.
(2)證明:∵an+1-(n+1)=
(n+2)
a
2
n
-nan+n+1
a
2
n
+1
-(n+1)=
an
a
2
n
+1
(an-n),
∴|an+1-(n+1)|=|
an
a
2
n
+1
||an-n|
,
(i)當(dāng)an≠0時(shí),|
an
a
2
n
+1
|
=|
1
an+
1
an
|
1
2
,(ii)當(dāng)an=0時(shí),|
an
a
2
n
+1
|
=0
1
2

|an+1-(n+1)|≤
1
2
|an-n|
,而|a1-1|≤
1
2

∴|an-n|
1
2
|an-1-(n-1)|
≤…≤(
1
2
)n-1|a1-1|
≤(
1
2
)n

∴|Sn-
n(n+1)
2
|=|(a1-1)+(a2-2)+…+(an-n)|≤|a1-1|+|a2-2|++…+|an-n|
1
2
+(
1
2
)2
+…+(
1
2
)n
=
1
2
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
=1-
1
2n
<1.
∴|Sn-
n(n+1)
2
|<1(n∈N*).
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、猜想能力、不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、含絕對(duì)值不等式的性質(zhì),考查了放縮法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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π
3
,a+b與b的夾角為
π
4
,則
|a|
|b|
=(  )
A、
3
3
B、
5
3
C、
6
3
D、
6
2

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1
2

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lim
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=
 

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1
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-
1
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1-
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