在△ABC中,頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為B(-3,0),C(3,0),AC,BC邊上的兩條中線BD,CE之和為12,則△ABC的重心G的軌跡方程為
 
考點(diǎn):軌跡方程
專題:計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得G到B、C兩點(diǎn)的距離之和等于12,因此G的軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的橢圓.利用題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算可得相應(yīng)的橢圓方程,注意到點(diǎn)G不能落在x軸上得到答案.
解答: 解:設(shè)AC、AB邊上的中線分別為CD、BE
∵BG=
2
3
BE,CG=
2
3
CD
∴BG+CG=
2
3
(BE+CD)=8(定值)>6
因此,G的軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的橢圓,2a=8,c=3
∴a=4,b=
7
,可得橢圓的方程為
x2
16
+
y2
7
=1

∵當(dāng)G點(diǎn)在x軸上時(shí),A、B、C三點(diǎn)共線,不能構(gòu)成△ABC
∴G的縱坐標(biāo)不能是0,可得△ABC的重心G的軌跡方程為
x2
16
+
y2
7
=1
(y≠0)
故答案為:
x2
16
+
y2
7
=1
(y≠0).
點(diǎn)評:本題給出三角形兩條中線長度之和等于定值,求重心G的軌跡方程.著重考查了三角形重心的性質(zhì)、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和軌跡方程的求法等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(不等式選做題)若不等式|x+2|+|x-3|≥a+
4
a-1
對任意的實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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已知A、B為拋物線x2=2py(p>0)上兩點(diǎn),直線AB過焦點(diǎn)F,A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D,則
CF
DF
=0;
②存在實(shí)數(shù)λ使得
AD
AO
(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn));
③若線段AB的中點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為T,有
FT
AB
=0;
④拋物線在A點(diǎn)的切線和在B點(diǎn)切線一定相交,并且相互垂直.
其中說法正確的個(gè)數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4

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在△ABC中,∠A、∠B、∠C對應(yīng)的邊分別為a、b、c,若
AB
AC
=
BA
BC
=1,則c=
 

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已知向量
m
=(cos
ωx
2
,sinωx-
3
3
) 
n
=(2cos
ωx
2
3
)
,且x∈R,ω>0,若函數(shù)f(x)=
m
n
在一個(gè)周期內(nèi)的圖象的最高點(diǎn)A、最低點(diǎn)B和一個(gè)零點(diǎn)C構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).(如圖所示)
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
(2)若0<ω<1,當(dāng)f(x0)=-
4
2
3
x0∈[-
14
3
,-
8
3
]
,求f(x0+1)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

關(guān)于x的方程|x+
1
x
|-|x-
1
x
|-kx-1=0有五個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍
 

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(
x
-
3
x
)n
的展開式的各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和為1024,則展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為
 

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已知數(shù)列{an}滿足an+1=
(n+2)
a
2
n
-nan+n+1
a
2
n
+1
(n∈N*),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若a1=1,求a2,a3,a4并推證數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a1∈[
1
2
,
3
2
],求證:|Sn-
n(n+1)
2
|<1(n∈N*).

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