Question

14、已知（1+2x）ⁿ的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于81，那么這個(gè)展開式中x³的系數(shù)是

32

．

Answer 1

分析：令x=1可得，其展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為3ⁿ，根據(jù)題意，有3ⁿ=81，解可得n的值，進(jìn)而可得其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，分析可得，將r=3代入通項(xiàng)可得答案．

解答：解：令x=1可得，其展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為3ⁿ，
根據(jù)題意，有3ⁿ=81，解可得，n=4，
則其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₄^r•（2x）^r，
當(dāng)r=3時(shí)，T₄=C₄³•（2x）³=32，
故答案為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，要牢記展開式中中各項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)系數(shù)和的不同意義與各自的求法．