Question

7．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx．
（1）當(dāng)f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，且f（x）_max=$\sqrt{10}$時(shí)，求a、b的值；
（2）當(dāng)f（$\frac{π}{3}$）=1，且f（x）_min=k時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由輔助角公式，將f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+φ），sinφ=$\frac{\sqrt{10}}$，cosφ=$\frac{a}{\sqrt{10}}$，求得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求得
sin$\frac{π}{4}$cosφ+cos$\frac{π}{4}$sinφ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，代入求得a=3 b=-1 或a=-1 b=3，
（2））f（$\frac{π}{3}$）=1得$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b=1$，化簡(jiǎn)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得 a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí) K²最小，最小K為1，K≥1．

解答 解：（1）f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+φ），
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
f（$\frac{π}{4}$）=2，可得a+b=2，
聯(lián)立解得：a=3 b=-1 或a=-1 b=3；
（2）f（$\frac{π}{3}$）=1，$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b=1$，
∴a²+b²=K²（K為負(fù)數(shù)），
∴K²=a²+b²=a²+4（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}a$）²=4a²-4$\sqrt{3}$a+4≥1，
當(dāng) a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí) K²最小，最小K²為1，
K≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查輔助角公式，求函數(shù)的解析式、兩角和的正弦公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．