Question

17．在以O為中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點的雙曲線上存在一點M，滿足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=2|$\overrightarrow{MO}$|=2|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得2a=|MF₁|-|MF₂|=|MF₂|，進而在△F₁OM中，F(xiàn)₁O=c，F(xiàn)₁M=4a，OM=2a，在△F₁F₂M中，F(xiàn)₁F₂=2c，F(xiàn)₁M=4a，F(xiàn)₂M=2a，結合余弦定理，結合離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由|MF₁|=2|MO|=2|MF₂|，
由雙曲線的定義可得2a=|MF₁|-|MF₂|=|MF₂|，
在△F₁OM中，|F₁O|=c，|F₁M|=4a，|OM|=2a，
則cos∠MF₁O=$\frac{16{a}^{2}+{c}^{2}-4{a}^{2}}{2•4a•c}$，
在△F₁F₂M中，|F₁F₂|=2c，|F₁M|=4a，|F₂M|=2a，
則cos∠MF₁O=$\frac{16{a}^{2}+4{c}^{2}-4{a}^{2}}{2•4a•2c}$，
由∠MF₁O=∠MF₁O得：$\frac{16{a}^{2}+{c}^{2}-4{a}^{2}}{2•4a•c}$=$\frac{16{a}^{2}+4{c}^{2}-4{a}^{2}}{2•4a•2c}$，
整理得c²=6a²，
即e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=6，
故e=$\sqrt{6}$，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，主要是考查離心率的求法，注意運用余弦定理，構造關于a，c的方程是解答的關鍵，難度中檔．