Question

【題目】橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在橢圓C 上，且　, ，.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線L過(guò)點(diǎn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求直線L的一般方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）8x﹣9y+25=0

【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義，可求出a的值，在在中，，可得橢圓的半焦距，從而可求出橢圓方程；

(2)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為，代入橢圓方程，利用A,B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得出結(jié)果；當(dāng)斜率不存在時(shí)，可直接得出結(jié)果.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，．

在中，，故橢圓的半焦距

從而，

所以橢圓C的方程為。

（2）（i）.當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，不是線段AB的中點(diǎn)（舍）

（ii）．當(dāng)直線L的斜率存在時(shí)，設(shè)為。則直線L的方程為，

代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．

因?yàn)?/span>M（-2,1）在橢圓內(nèi)，所以

設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）．則

因?yàn)辄c(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)．所以

解得，

所以直線L的方程為，即．