Question

10．已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y）+1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（ I）若令h（x）=f（x）-1，證明：函數(shù)h（x）為奇函數(shù)；
（ II）證明：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（ III）解關(guān)于x的不等式f（x²）-f（3tx）+f（2t²+2t-x）＜1．其中t∈R．

Answer 1

分析 （1）要判斷函數(shù)的奇偶性方法是f（x）+f（-x）=0．現(xiàn)在要判斷f（x）-1的奇偶性即就是判斷[f（x）-1]+[f（-x）-1]是否等于0．首先令x₁=x₂=0得到f（0）=1；然后令x₁=x，x₂=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）-1證出即可；
（2）要判斷函數(shù)的增減性，就是在自變量范圍中任意取兩個(gè)x₁＜x₂∈R，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小即可知道增減性．
（3）已知f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，f（x²+2t²+2t-x）＜f（3tx）
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上是增函數(shù)，所以x²+2t²+2t-x＜3tx，求出解集即可．

解答 解：（ I）證明：令x=y=0，則f（0）=1
令y=-x，即f（x）+f（-x）=f（0）+1，即f（x）+f（-x）=2
所以：f（-x）-1=-f（x）+1，即h（-x）=-h（x）
故函數(shù)h（x）為奇函數(shù)；…（3分）
（ II）證明：設(shè)任意x₁，x₂∈R且x₁＞x₂
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）-2=f（x₁-x₂）+1-2=f（x₁-x₂）-1
因?yàn)椋簒₁＞x₂所以x₁-x₂＞0，故f（x₁-x₂）＞1
所以f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；…（7分）
（ III）因?yàn)閒（x²）-f（3tx）+f（2t²+2t-x）＜1
所以f（x²）+f（2t²+2t-x）＜f（3tx）+1
即f（x²+2t²+2t-x）+1＜f（3tx）+1
即f（x²+2t²+2t-x）＜f（3tx）
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上是增函數(shù)
所以x²+2t²+2t-x＜3tx
即：x²-（3t+1）t+2t²+2t＜0
即：（x-2t）（x-t-1）＜0
ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，原不等式無解；
ⅱ）當(dāng)t＞1時(shí)，原不等式的解集{x|t+1＜x＜2t}
ⅲ）當(dāng)t＜1時(shí)，原不等式的解集{x|2t＜x＜t+1}…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生掌握判斷抽象函數(shù)奇偶性能力和判斷抽象函數(shù)增減性的能力，靈活運(yùn)用題中已知條件的能力，屬于中檔題．