Question

20．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D與底面所成的角分別為60°和45°，則異面直線B₁C和C₁D所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 設B₁B=a，B₁C和C₁D與底面A₁B₁C₁D₁所成的角分別為60°和45°，推知BC=a，DC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，推知表示出長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱的長度推知面對角線的長度，再用余弦定理求解．

解答 解：設B₁B=a，
∵B₁C和C₁D與底面A₁B₁C₁D₁所成的角分別為60°和45°
∴BC=a，DC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴A₁D=$\sqrt{2}$a，DC₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，A₁C₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
由余弦定理得：cos∠C₁A₁D=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sin∠C₁A₁D=$\sqrt{1-\frac{6}{16}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
故選C．

點評 本題主要考查異面直線所角的基本求法，若所成的角在直角三角形中，則用三角函數的定義，若在一般三角形中則用余弦定理．