分析 (1)由已知得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線,且$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$,由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$,得kx2-2y+4=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理能求出直線l的方程.
解答 解:(1)∵動(dòng)點(diǎn)P到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于到定點(diǎn)C($\frac{1}{2}$,0)的距離,
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線,且$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$,解得p=1,
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=2x.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$,消去x,得kx2-2y+4=0,
∵直線l與拋物線相交,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=4-16k>0}\end{array}\right.$,解得k<0,且k≠0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則${y}_{1}{y}_{2}=\frac{4}{k}$,
∵x1x2=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$,
∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0,
∴$\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{4}{k}=0$,解得k=-1符合題意,
∴直線l的方程為y=-x+2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,考查直線的方程求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意根的判別式、韋達(dá)定理、拋物線定義的合理運(yùn)用.
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A. | (-$\frac{3}{2}$,4) | B. | (-$\frac{3}{2}$,-4) | C. | ($\frac{3}{2}$,-4) | D. | (-3,-4) |
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A. | 曲線E上的所有點(diǎn)都是“好點(diǎn)” | |
B. | 曲線E上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“好點(diǎn)” | |
C. | 曲線E上的所有點(diǎn)都不是“好點(diǎn)” | |
D. | 曲線E上有無窮多個(gè)點(diǎn)(但不是所有的點(diǎn))是“好點(diǎn)” |
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A. | $(\frac{1}{4},\left.1]\right.$ | B. | ($\frac{1}{2}$,2] | C. | [1,4) | D. | [2,8) |
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