8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于到定點(diǎn)C($\frac{1}{2}$,0)的距離.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)若在y軸上截距為2的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且以MN為直徑的圓過原點(diǎn),求直線l的方程.

分析 (1)由已知得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線,且$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$,由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$,得kx2-2y+4=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理能求出直線l的方程.

解答 解:(1)∵動(dòng)點(diǎn)P到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于到定點(diǎn)C($\frac{1}{2}$,0)的距離,
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線,且$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$,解得p=1,
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=2x.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$,消去x,得kx2-2y+4=0,
∵直線l與拋物線相交,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=4-16k>0}\end{array}\right.$,解得k<0,且k≠0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則${y}_{1}{y}_{2}=\frac{4}{k}$,
∵x1x2=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$,
∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0,
∴$\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{4}{k}=0$,解得k=-1符合題意,
∴直線l的方程為y=-x+2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,考查直線的方程求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意根的判別式、韋達(dá)定理、拋物線定義的合理運(yùn)用.

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(1)求直線l的方程;
(2)若直線l與拋物線Γ交于B,C兩點(diǎn),且|BC|是|AB|和|AC|的等比中項(xiàng),求拋物線Γ的方程;
(3)設(shè)拋物線Γ的焦點(diǎn)為F,問:是否存在正整數(shù)a,使得拋物線Γ上至少有一點(diǎn)P,滿足|PF|=|PA|,若存在,求出所有這樣的正整數(shù)a的值;若不存在,說明理由.

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10.(文科)把函數(shù)y=log2(2x-3)+4的圖象按向量$\overrightarrow{a}$平移后得到函數(shù)y=log2(2x)的圖象,則$\overrightarrow{a}$=(  )
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3.定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
(1)若橢圓C2:$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請(qǐng)說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且焦點(diǎn)在x軸上、短半軸長為b的橢圓Cb的標(biāo)準(zhǔn)方程;若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)如圖:直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”M:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和
Mλ:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=λ2(a>bo,0<λ<1)分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F(非橢圓頂點(diǎn)),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

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(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)點(diǎn)M(0,1)與點(diǎn)N關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱,問:是否存在過點(diǎn)N的直線l,l與軌跡C相交于E、F兩點(diǎn),且使三角形${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$(O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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C.曲線E上的所有點(diǎn)都不是“好點(diǎn)”
D.曲線E上有無窮多個(gè)點(diǎn)(但不是所有的點(diǎn))是“好點(diǎn)”

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