Question

18．若函數(shù)f（x）=x³-（4+log₂a）x+2在（0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{1}{4}，\left.1]\right.$
• B． （$\frac{1}{2}$，2]
• C． [1，4）
• D． [2，8）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可求出a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-（4+log₂a）x+2在（0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴l(xiāng)og₂a=x²+$\frac{2}{x}$-4在（0，2]上有兩解，
設(shè)g（x）=x²+$\frac{2}{x}$-4，
則g′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，得
x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
又g（1）=-1，g（2）=1，
∴-1＜log₂a≤1，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤2，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的定義以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，屬于中檔題．