Question

13．已知直線l過點A（-2，-1），直線l的一個方向向量為（1，1），拋物線Γ的方程為y=ax²．
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l與拋物線Γ交于B，C兩點，且|BC|是|AB|和|AC|的等比中項，求拋物線Γ的方程；
（3）設(shè)拋物線Γ的焦點為F，問：是否存在正整數(shù)a，使得拋物線Γ上至少有一點P，滿足|PF|=|PA|，若存在，求出所有這樣的正整數(shù)a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正弦的方向向量可得直線的斜率為1，再由點斜式方程，即可得到直線方程；
（2）運用等比數(shù)列的性質(zhì)和直線l的參數(shù)方程，代入拋物線方程，由參數(shù)的幾何意義，可得|AB||AC|，再由直線方程代入拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式，解a的方程即可得到；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)a，使得拋物線T上至少有一點P．滿足|PF|=|PA|．求出AF的中垂線方程，代入拋物線方程，求出判別式，運用換元法和構(gòu)造函數(shù)的方法，即可判斷判別式小于0，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）直線l的一個方向向量為（1，1），即直線l的斜率為1，
則直線l的方程為y+1=x+2，即y=x+1；
（2）|BC|是|AB|和|AC|的等比中項，即|BC|²=|AB||AC|，
設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入拋物線方程y=ax²，化簡可得$\frac{1}{2}$at²-（2$\sqrt{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）t+4a+1=0，
則（2$\sqrt{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$a•（4a+1）＞0，即a＞-$\frac{1}{4}$，
t₁t₂=$\frac{2（4a+1）}{a}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$可得ax²-x-1=0，則判別式1+4a＞0，
x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，x₁x₂=-$\frac{1}{a}$，
則弦長|BC|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{a}}$，
由|BC|²=|AB||AC|，可得2（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{a}$）=|$\frac{2（4a+1）}{a}$|，
解得a=1或-1（舍去），
即有拋物線方程為y=x²；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)a，使得拋物線T上至少有一點P．滿足|PF|=|PA|．
由y=ax²可得焦點F（0，$\frac{1}{4a}$），
AF的斜率為$\frac{1+4a}{8a}$，則AF的中垂線的斜率為-$\frac{8a}{1+4a}$，
AF的中垂線方程為y-（$\frac{1}{8a}$-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{8a}{1+4a}$（x+1），
代入拋物線方程可得，ax²+$\frac{8a}{1+4a}$x-$\frac{1+4a}{8a}$+$\frac{8a}{1+4a}$=0，①
則△=（$\frac{8a}{1+4a}$）²-4a（-$\frac{1+4a}{8a}$+$\frac{8a}{1+4a}$），
令$\frac{8a}{1+4a}$=t，由a為正整數(shù)，則a=$\frac{t}{8-4t}$（$\frac{8}{5}$≤t＜2），
代入判別式化簡得，△=$\frac{{t}^{2}-{t}^{3}+1}{2-t}$，
令f（t）=t²-t³+1，則f′（t）=2t-3t²，當t∈[$\frac{8}{5}$，2）時，f′（t）＜0，
f（t）在[$\frac{8}{5}$，2）上遞減，則f（t）≤f（$\frac{8}{5}$）＜0，
即有△＜0，方程①無實數(shù)解．
則不存在正整數(shù)a，使得拋物線T上至少有一點P．滿足|PF|=|PA|．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，重點考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式，同時考查二次方程的判別式與方程的解的關(guān)系，是一道綜合題，屬于中檔題．