Question

8．已知圓C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1和兩點(diǎn)A（-t，0），B（t，0）（t＞0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則t的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 可以設(shè)圓上一點(diǎn)P（x₀，y₀），由∠APB=90°，可得AP⊥BP，k_AP•k_BP=-1，然后的到關(guān)于t的關(guān)系式，求解t的最小值．

解答 解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），k_AP•k_BP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+t}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}=-1$，
整理得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}={t}^{2}$，即$t=\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=${\sqrt{（{x}_{0}-0）^{2}+（{y}_{0}-0）}}^{2}$
由此可以將求t的最小值問題看做點(diǎn)P到原點(diǎn)的最短距離問題，

如圖所示，當(dāng)P點(diǎn)在如圖位置時(shí)，OP的距離最小，即t取得最小值，
A點(diǎn)坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，1）易知OA所在直線方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，聯(lián)立圓的方程：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1，可得P點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
從而|OP|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，即t=1．故t的最小值為1．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考察圓與直線方程的綜合應(yīng)用以及兩點(diǎn)間距離公式，解決此類問題，注意采用數(shù)形結(jié)合思想，可較快得到答案．