Question

17．已知{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，滿足a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，若對于每一個正整數(shù)n，均有a_n=a₁+log_ab_n，則常數(shù)a=$\root{3}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由題意列式求得d，q的值，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求，代入a_n=a₁+log_ab_n，求解即可得到a值．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+d=q}\\{3（3+4d）={q}^{2}}\end{array}\right.$，解得d=6，q=9，
∴a_n=3+6（n-1）=6n-3，${b_n}={9^{n-1}}$，
代入a_n=a₁+log_ab_n得，
$6n-3=3+{log_a}{9^{n-1}}$，
即log_a9=6，
∴$a=\root{3}{3}$．
故答案為：$\root{3}{3}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．