【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x+a沒有交點,求a的取值范圍;
(3)若函數(shù)h(x)=+m2x-1,x∈[0,log23],是否存在實數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) k=- (2) a≤0 (3) 存在,m=-1
【解析】
(1)若函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù),則f(-x)=f(x),可得k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x+a沒有交點,方程log4(4x+1)-x=a無解,則函數(shù)g(x)=的圖象與直線y=a無交點,則a不屬于函數(shù)g(x)值域;
(3)函數(shù)h(x)=4x+m2x,x∈[0,log23],令t=2x∈[1,3],則y=t2+mt,t∈[1,3],結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),分類討論,可得m的值.
(1)∵函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x),
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx恒成立.
∴2kx=log4(4-x+1)-log4(4x+1)===-x,
∴k=-
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x+a沒有交點,
則方程log4(4x+1)-x=x+a即方程log4(4x+1)-x=a無解.
令g(x)=log4(4x+1)-x==,則函數(shù)g(x)的圖象與直線y=a無交點.
∵g(x)在R上是單調(diào)減函數(shù).,
∴g(x)>0.
∴a≤0
(3)由題意函數(shù)h(x)=+m2x-1=4x+m2x,x∈[0,log23],
令t=2x∈[1,3],則y=t2+mt,t∈[1,3]
∵函數(shù)y=t2+mt的圖象開口向上,對稱軸為直線t=-,
故當(dāng)-≤1,即m≥-2時,當(dāng)t=1時,函數(shù)取最小值m+1=0,解得:m=-1,
當(dāng)1<-<3,即-6<m<-2時,當(dāng)t=-時,函數(shù)取最小值=0,解得:m=0(舍去),
當(dāng)-≥3,即m≤-6時,當(dāng)t=3時,函數(shù)取最小值9+3m=0,解得:m=-3(舍去),
綜上所述,存在m=-1滿足條件.
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【題目】如圖,一張矩形白紙ABCD,AB=10,AD=,E,F分別為AD,BC的中點,現(xiàn)分別將△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且A、C在平面BFDE同側(cè),下列命題正確的是____________(寫出所有正確命題的序號)
①當(dāng)平面ABE∥平面CDF時,AC∥平面BFDE
②當(dāng)平面ABE∥平面CDF時,AE∥CD
③當(dāng)A、C重合于點P時,PG⊥PD
④當(dāng)A、C重合于點P時,三棱錐P-DEF的外接球的表面積為150
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,其中b,c∈R.
(1)當(dāng)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱時,b=______;
(2)如果f(x)在區(qū)間[-1,1]不是單調(diào)函數(shù),證明:對任意x∈R,都有f(x)>c-1;
(3)如果f(x)在區(qū)間(0,1)上有兩個不同的零點.求c2+(1+b)c的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線: ,直線與拋物線交于, 兩點.
(1)若直線, 的斜率之積為,證明:直線過定點;
(2)若線段的中點在曲線: 上,求的最大值.
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【題目】已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a1+2a2=5,4a=a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,且bn+1=bn+an,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)設(shè),求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗方式為:弧田面積=,弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差。現(xiàn)有圓心角為,半徑等于4米的弧田.下列說法不正確的是( )
A. “弦”米,“矢”米
B. 按照經(jīng)驗公式計算所得弧田面積()平方米
C. 按照弓形的面積計算實際面積為()平方米
D. 按照經(jīng)驗公式計算所得弧田面積比實際面積少算了大約0.9平方米(參考數(shù)據(jù) )
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+5.
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1,a],求實數(shù)a的值;
(2)若a≤1,求函數(shù)y=|f(x)|在[0,1]上的最大值.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=,設(shè)bn=,n∈N*。
(1)證明{bn}是等比數(shù)列(指出首項和公比);
(2)求數(shù)列{log2bn}的前n項和Tn。
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