Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值為m
（I）求m的值；
（ II）若a，b，c∈（0，+∞）），且a²+3b²+2c²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （I）分類討論，求出函數(shù)的值域，即可求m的值；
（ II）由（I）知，a²+3b²+2c²=2，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．

解答 解：（I）當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=（1-x）+2（x+1）=x+3≤2；…（1分）
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f（x）=（1-x）-2（x+1）=-3x-1∈（-4，2）：…（2分）
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=（x-1）-2（x+1）=-x-3≤-4．…（3分）
故當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得最大值m=2…（5分）
（ II）由（I）知，a²+3b²+2c²=2，則…（6分）
$ab+2bc≤\frac{1}{2}（{a^2}+{b^2}）+（{b^2}+{c^2}）=\frac{1}{2}（{a^2}+3{b^2}+2{c^2}）=1$…（8分）
故ab+2bc的最大值為1…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．