Question

20．設函數f'（x）是函數f（x）（x∈R）的導函數，f（0）=1，且3f（x）=f'（x）-3，則6f（x）＞f'（x）的解集為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． $（\frac{e}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 容易求出f′（0）=6，結合條件便可得出函數f（x）的解析式，進而求出導函數，代入6f（x）＞f′（x），根據指數函數的單調性便可解出原不等式．

解答 解：根據條件，f（0）=1，且3f（x）=f'（x）-3，
可得3f（0）=3=f′（0）-3；
∴f′（0）=6，
由于e^x的導數為e^x，且由復合函數的導數法則，
可設f（x）=me^nx+b，可得3me^nx+3b=mne^nx-3，
顯然3b=-3，即b=-1；又3m=mn，即n=3，
由f（0）=m-1=1，即m=2，
∴f（x）=2e^3x-1，f′（x）=6e^3x；
∴由6f（x）＞f′（x）得：6（2e^3x-1）＞6e^3x，
整理得，e^3x＞1，
∴3x＞0，
∴x＞0．
∴原不等式的解集為（0，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查導函數的概念，基本初等函數和復合函數的求導，指數函數的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．