Question

16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=$\frac{tanA}{cosB}$+$\frac{tanB}{cosA}$．
（Ⅰ）證明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由切化弦公式$tanA=\frac{sinA}{cosA}，tanB=\frac{sinB}{cosB}$，帶入$2（tanA+tanB）=\frac{tanA}{cosB}+\frac{tanB}{cosA}$并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，這樣根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，從而根據(jù)正弦定理便可得出a+b=2c；
（Ⅱ）根據(jù)a+b=2c，兩邊平方便可得出a²+b²+2ab=4c²，從而得出a²+b²=4c²-2ab，并由不等式a²+b²≥2ab得出c²≥ab，也就得到了$\frac{{c}^{2}}{ab}≥1$，這樣由余弦定理便可得出$cosC=\frac{3{c}^{2}}{2ab}-1$，從而得出cosC的范圍，進而便可得出cosC的最小值．

解答 解：（Ⅰ）證明：由$2（tanA+tanB）=\frac{tanA}{cosB}+\frac{tanB}{cosA}$得：
$2（\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}）=\frac{sinA}{cosAcosB}+\frac{sinB}{cosAcosB}$；
∴兩邊同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根據(jù)正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$；
∴$sinA=\frac{a}{2R}，sinB=\frac{2R}，sinC=\frac{c}{2R}$，帶入（1）得：$\frac{a}{2R}+\frac{2R}=\frac{2c}{2R}$；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=4c²；
∴a²+b²=4c²-2ab，且4c²≥4ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號；
又a，b＞0；
∴$\frac{{c}^{2}}{ab}≥1$；
∴由余弦定理，$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{c}^{2}-2ab}{2ab}=\frac{3}{2}•\frac{{c}^{2}}{ab}-1$$≥\frac{1}{2}$；
∴cosC的最小值為$\frac{1}{2}$．

點評 考查切化弦公式，兩角和的正弦公式，三角形的內(nèi)角和為π，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正余弦定理，不等式a²+b²≥2ab的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)．