Question

11．若函數(shù)f（x）=$\frac{sinx+a}{cosx}$在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． a≤-1
• B． a≤2
• C． a≥-1
• D． a≤1

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{sinx+a}{cosx}$
則f′（x）=$\frac{cosx•cosx+sinx（sinx+a）}{co{s}^{2}x}$
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）上，
∴cos²x＞0
要使函數(shù)f（x）=$\frac{sinx+a}{cosx}$在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴cos²x+sin²x+asinx＞0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
即：asinx+1＞0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）上，
sinx∈（0，1）
∴a≥-1
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性問題，利用單調(diào)性求解取值范圍的問題．屬于基礎(chǔ)題．