Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，n∈N^*，a₃=5，S₁₀=100．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2^a_n+a_n•sin²$\frac{nπ}{2}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，解方程組可得{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）從${sin^2}\frac{nπ}{2}$的取值發(fā)現(xiàn)數(shù)列{b_n}需分奇偶討論，再結(jié)合分組求和可得{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=100}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=2n-1．
（2）因?yàn)?{b_n}={2^{a_n}}+{a_n}•{sin^2}\frac{nπ}{2}={2^{2n-1}}+（2n-1）•{sin^2}\frac{nπ}{2}$
當(dāng)n為奇數(shù)時，${sin^2}\frac{nπ}{2}=1$
當(dāng)n為偶數(shù)時，${sin^2}\frac{nπ}{2}=0$
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=（2+2³+2⁵+…+2^2n-1）+（1+5+9+…+2n-3）=$\frac{{2（{4^n}-1）}}{4-1}+\frac{{\frac{n}{2}（1+2n-3）}}{2}=\frac{2}{3}•{4^n}+\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}-\frac{2}{3}$
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=T_n-1+b_n=$\frac{2}{3}•{4^{n-1}}+\frac{{{{（{n-1}）}^2}}}{2}-\frac{{（{n-1}）}}{2}-\frac{2}{3}+{2^{2n-1}}+（2n-1）$=$\frac{2}{3}•{4^n}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}-\frac{2}{3}$
綜上：${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}•{4^n}+\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}-\frac{2}{3}，n為偶數(shù)\\ \frac{2}{3}•{4^n}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}-\frac{2}{3}，n為奇數(shù)\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．