Question

設a＞0，a≠1，解關于x的不等式

Answer 1

【答案】分析：本題為解數(shù)型不等式，結合指數(shù)函數(shù)的單調性，分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論，再轉化為解二次型不等式．
解答：解法一原不等式可寫成．①
根據指數(shù)函數(shù)性質，分為兩種情形討論：
（Ⅰ）當0＜a＜1時，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
由于0＜a＜1時，判別式
△=4-4a²＞0，
所以②式等價于
③④
解③式得x＜-或x＞，
解④式得-＜x＜．
所以，0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}．
（Ⅱ）當a＞1時，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑤
由于a＞1，判別式△＜0，故⑤式對任意實數(shù)x成立，即得原不等式的解集為R
綜合得
當0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
當a＞1時，原不等式的解集為R．
解法二原不等式可寫成．①
（Ⅰ）當0＜a＜1時，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
分解因式得（x²-1+）（x²-1-）＜0．③
④⑤
即
⑥⑦
或
解由④、⑤組成的不等式組得
-＜x＜-．
或＜x＜．
由⑥、⑦組成的不等式組解集為空集；所以，0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
（Ⅱ）當a＞1時，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑧
配方得（x²-1）²+a²-1＞0，⑨
對任意實數(shù)x，不等式⑨都成立，即a＞1時，原不等式的解集為
{x|-∞＜x＜+∞}．
綜合得
當0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
當a＞1時，原不等式的解集為{x|-∞＜x＜+∞}．
點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質、解不等式等知識點，注意分類討論．