Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+bx2+3x-2，其中a≠0
（1）若a=1，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱時(shí)．試求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．
（2）若a＞0，且f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x），把a(bǔ)=1時(shí)代入到導(dǎo)函數(shù)中，然后因?yàn)閒（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱得到b的值，確定出函數(shù)解析式．在區(qū)間[0，2]上討論函數(shù)的增減性，判斷求得函數(shù)的最小值；
（2）由f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增得到導(dǎo)函數(shù)大于0，ax²+2bx+3＞0，?x∈（0，1]恒成立2bx＞-ax²-3即2b＞

-ax2-3

x

=-（ax+

3

x

），設(shè)y=ax+

3

x

，討論a的取值求出y的最小值即可得到b的取值范圍．

解答：解：f′（x）=ax²+2bx+3（2分）
（1）∵a=1
∴f′（x）=x²+2bx+3=（x+b）²+3-b²，
f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱
∴b=-2，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）（4分）

f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值=min{{f(0)，f(2)}=min{-2，-

4

3

}=-2（7分）
（2）由a＞0，且f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，
知：ax²+2bx+3＞0，?x∈（0，1]恒成立2bx＞-ax²-3
∵x＞0，∴2b＞-(ax+

3

x

)?2b＞-(ax+

3

x

)max（10分）
為求最大值，先以下求函數(shù)y=ax+

3

x

的最小值y′=a-

3

x2

=

ax2-3

x2

=

a(x- 3 a )(x+ 3 a )

x2

當(dāng)

3 a

＜1時(shí)，y′（x）在(0，

3 a

)上為負(fù)，在(

3 a

，1)為正，
即y（x）在(0，

3 a

)上遞減，在(

3 a

，1)遞增y（x）的最小值是y(

3 a

)=2

3a

當(dāng)

3 a

≥1時(shí)，y′（x）在區(qū)間（0，1]上恒為負(fù)，
即y（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，所以y（x）的最小值是y（1）=a+3（13分）
經(jīng)檢驗(yàn)，以上端點(diǎn)值也符合．
綜上所述，當(dāng)a＞3時(shí)，b的取值范圍是[-

3a

，+∞)
當(dāng)0＜a≤3時(shí)b的取值范圍是[-

a+3

2

，+∞)（15分）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．以及理解不等式恒成立時(shí)所取的條件．