Question

9．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)P（$\sqrt{2}$，1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若A₁，A₂分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MA₂⊥A₁A₂，且MA₁交橢圓C于不同于A₁的點(diǎn)R，求證：$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OM}$為定值．

Answer 1

分析 （1）將P（$\sqrt{2}$，1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1方程，即$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列方程即可求得a和b的值，即可求得橢圓C的方程；
（2）求得A₁，A₂的坐標(biāo)，設(shè)M（2，y₀），R（x₁，y₁），求得MA₁的方程代入橢圓方程，求得x₁和y₁，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求得$\overrightarrow{OR}$•=4，可知$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OM}$為定值．

解答 解：（1）將P（$\sqrt{2}$，1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1方程，整理得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a²=4，b²=2，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（5分）
（2）證明：由（1）知A₁（-2，0），A₂（2，0），由題意設(shè)M（2，y₀），R（x₁，y₁），
易知直線MA₁的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{{y}_{0}}{2}$，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得（1+$\frac{{y}_{0}^{2}}{8}$）x²+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$x+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$-4=0．
∴（-2）x₁=$\frac{4（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，解得x₁=$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，從而y₁=$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$，
∴$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$）•（2，y₀）=$\frac{-4（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$+$\frac{8{y}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}+8}$=4，
∴$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OM}$為定值…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．