Question

11．如圖，已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），通過$c=\sqrt{{a^2}+1}$，直線OB方程為$y=-\frac{1}{a}x$，直線BF的方程為$y=\frac{1}{a}（x-c）$，解得B的坐標(biāo)，求出A的坐標(biāo)，然后求出AB的斜率，利用AB⊥OB，求出a²=3，即可得到雙曲線C的方程．

解答 解：設(shè)F（c，0），因?yàn)閎=1，所以$c=\sqrt{{a^2}+1}$，
直線OB方程為$y=-\frac{1}{a}x$，直線BF的方程為$y=\frac{1}{a}（x-c）$，解得$B（\frac{c}{2}，-\frac{c}{2a}）$
又直線OA的方程為$y=\frac{1}{a}x$，則$A（c，\frac{c}{a}），{k_{AB}}=\frac{3}{a}$．
又因?yàn)锳B⊥OB，所以$\frac{3}{a}（-\frac{1}{a}）=-1$，解得a²=3，
故雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．