Question

已知f（x）對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=-2，當(dāng)x＞0時，f（x）＜0．
（1）證明f（x）為R上的減函數(shù)；
（2）解不等式f（x-1）-f（1-2x-x²）＜4．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先將f（x+y）=f（x）+f（y），變形為f（x+y）-f（x）=f（y），再結(jié)合單調(diào)性的定義證明f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）結(jié)合已知條件將不等式變形為f（x）＞f（y）的形式，再結(jié)合單調(diào)性構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解之即可，注意如何將4化成某個函數(shù)值得形式．

解答： 解：（1）證明：因為f（x）對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
所以f（x+y）-f（x）=f（y），
所以對任意的m，n，f（m）-f（n）=f（m-n），
任取x₁＜x₂，則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），且x₂-x₁＞0，結(jié)合當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上減函數(shù)；
（2）解：依題意有f（2）=f（1）+f（1）=-4
∴不等式可化為f（x-1）-4＜f（1-2x-x²）即f（x-1）+f（2）＜f（1-2x-x²），
f（x-1+2）＜f（1-2x-x²）因為f（x）是R上的減函數(shù)
∴1+x＞1-2x-x²，x＞0或x＜-3所以不等式的解集為（-∞，-3）或（0，+∞）．

點評：本題考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的證明問題，一般利用定義來證，關(guān)鍵是如何利用已知得到定義中的式子并判斷符號．