Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x時，f（x）-m≥1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若f（x₀）=1，x₀∈[-π，π]，求x₀的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)周期為T，則由已知可知T=2×=π，
又ω＞0，可知ω==2，…1分
又易知A=2，故f（x）=2sin（2x+φ），…2分
∵f（）=-2，
∴sin（+φ）=-1，
∴+φ=2kπ+π（k∈Z），又0＜φ＜，
解得φ=，
∴f（x）=2sin（2x+），…4分
（2）當(dāng)≤x≤時，≤2x+≤…5分
∴-≤f（x）≤1…6分
又f（x）≥1+m恒成立，
∴1+m≤-，解得m≤-…8分
（3）f（x₀）=1，則sin（2x₀+）=…9分
∴2x₀+=2kπ+或2x₀+=2kπ+（k∈Z）…10分，
∴x₀=kπ或x₀=kπ+（k∈Z），
又x₀∈[-π，π]，
所以x₀=-π，-，0，，π…12分
分析：（1）依題意可求得A及其周期T=π，利用周期公式即可求得ω，再利用f（）=-2即可求得φ，從而可求f（x）的解析式；
（2）由≤x≤，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得-≤f（x）≤1，又f（x）≥1+m恒成立，從而可求得實數(shù)m的取值范圍；
（3）f（x₀）=1，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得x₀的值．
點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數(shù)恒成立問題，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查屬于難題．